. homomorphism
. pi : X->Y
. pi(u*v) = pi(u)+pi(v)
. * : operation on X
. + : operation on Y
. Morphism
. two mathematical structure간의 structure-preseving process.
. set theory에서는 functions
. group theory에서는 group homomorphisms
. topology에서는 continuous functions
. universal algebra에서는 homomorphisms
. category theory에서는 domain와 codomain의 relationship
. identity morphism이 있어서 그것과 composite해도 자기 자신이 나온다.
. associativity가 있어야 한다.
x*(y*z) = (x*y)*z
. one-to-one(injective)
일대일
x의 모든 원소가 y에 대응됨.
. onto(surjective)
y의 모든 원소가 x에 대응됨.
. bijective : injective and surjective
일대일대응
. monomorphism
. f*g1 = f*g2이면 g1 = g2 일 때, f는 monomorphism이다.
. f : X->Y
. g1, g2 : Z->X
. f*g1, f*g2 : Z->Y
. injective homomorphism
. split monomorphism
. left-inverse를 가지는 monomorphism
. epimorphism
. http://en.wikipedia.org/wiki/Epimorphism
. g1*f = g2*f이면 g1 = g2 일 때, f는 epimorphism이다.
. f : X->Y
. g1, g2 : Y->Z
. g1*f, g2*f : X->Z
. right-cancellable
. surjective homomorphism
. monomorphism와 dual 관계
. bimorphism
. epimorphism and monomorphism
. isomorphism
. bijective homomorphism
. morphism : f : X->Y 일때
f*g = idY and g*f = idx인 g:Y->X가 존재한다.
. morphism has both left-inverse and right-inverse, then
left-inverse and right-inverse are equal.
. http://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphic
. bijective(one-to-one and onto) map, f and f^-1이 homomorphism하다.
. 두 structure가 isomorphic하면 structurally identical하다고 할 수 있다.
. 한 structure에서 theorem이 증명되었으면
새로운 structure와 isomorphism이라는 것만 증명하면
그것들을 그대로 옮겨와서 사용할 수 있다.
. 모든 isomorphism은 bimorphism이다. (역은 아님)
. endomorphism
. http://en.wikipedia.org/wiki/Endomorphism
. f:X -> X인 f를 endomorphism of X라고 함.
. automorphism
. http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphism
. endomorphism and isomorphism
. closure : 2개의 endomorphism의 composite는 또 다른 endomorphism이 됨.
. associativity : morphism은 정의상 항상 associative하다.
. identity : morphism은 정의상 항상 identity를 가진다.
. inverses : 정의상 inverses를 가진다.
. antihomomorphism
. http://en.wikipedia.org/wiki/Antiautomorphism
. pi : X->Y
. pi(xy) = pi(y)pi(x)
. 곱셈의 순서를 reverse함.
. diffeomorphism
. f:M->N이 bijective map이고
f:M->N, f^-1:N->M 이 모두 dirrentiable할 때
. Polymorphism
. http://en.wikipedia.org/wiki/Polymorphism_%28computer_science%29
. single definision이 different types of data에 사용될 수 있을 때
. ML에서 사용됨.
. holomorphism
. http://en.wikipedia.org/wiki/Holomorphism
. open subset of the complex number plane C 정의된 모든 값이
differentiable할 때.
. U : open subsete of C
. f : U -> C, complex diffentiable at z0
. f'(z0) = lim z->z0, (f(z)-f(z0))/(z-z0)
. isometry
. isometric isomorphism
. congruence mapping
. disstance-preserving isomorphism
. f : X->Y
. X, Y be metric space with dx, dy
. dy(f(x), f(y)) = dx(x, y)
. global isometry
. bijective distance preserving map
. path isometry
. arcwise isometry
. preserve the lengths of curves
. idempotence
. http://en.wikipedia.org/wiki/Idempotent
. binary operation일때, 자기 자신을 연산하면 자신이 나옴.
ex) binary number system의 multiplication
. unary operation일때, 자기 자신에게 두번 연산을 apply하면 한번 연산했을 때와 같은 결과가 나옴.
ex) min, max