. Parametric Curves - Big area in computer Graphics
. Explicit function : y = f(x)
. Inplicit function : Parametric curve
x = f(t), y = g(t)
ex) Circle , polar coordinate
기존에 했던 interpolation 방법을 x(t), y(t)에 각각하기만 하면 된다.
. Interpolation Usage
1. N-small : Lagrange
2. N-small, derivative known : Hermite (More accurate than )
3. N-large : Cubic spline
각 area에 suitable method를 develop해서 쓰면 된다.
. Numerical Differentiation
. Taylor series에 따라 f(x+h), f(x-h) 등을 expand한다.
. f'(x) = (f(x+h) - f(x))/h (forward formula, 1st order)
. f'(x) = (f(x) - f(x-h))/h (backward formula, 1st order)
. f'(x) = (f(x+h) - f(x-h))/2h (Central formula, 2nd order)
. f''(x) = (f(x+h) - 2f(x) + f(x-h))/h^2 (Centered, 2nd order)
. Error
. Truncation error : continous -> discrete로 바꾸면서 생김
(Taylor series expansion에 의해 생김)
h를 줄이면 에러가 작아짐
. Round off error : 컴퓨터의 floating point의 자릿수 한계에 따라 생김
h를 줄이면 iteration수가 많아져서 에러가 커짐
. 두 error는 trade off 관계에 있다.
. How to get more accuracy?
. Use higher order formulas
. Reduce h
. Richardson's Extrapolation
. Low order folrmulas에서 high order accuracy를 얻기
. 2의 n제곱의 배수에 해당하는 구간들의 관계를 이용하여 error를 더 적게 만든다.